5年级“撕卡片”的排列组合题

大胖上周一张数学课堂练习卷子上的一个题目引起了胖爸的兴趣。

下图是一张6个数字相连的数字卡片,如果想撕下相连的4张,共有多少种不同的撕法?(如1456就是其中的一种撕法)

这个题目格子少,因此数字并不多,顺着去画穷举出来也花不了多少时间,这也是题目所要求的。不过如果从计算的角度来看,需要动动脑子。

先从6个卡片中任选4张卡片:C(6,4),然后我们需要从中减去存在不相连的卡片情形,这个比较好数,一共有以下4种情况:

细心一点会发现它对应着4个斜线:24、26、35、15。

那么最终符合题意的撕法:

C(6,4)-4=11

扩展一下:
在m×n的方格数字卡片中,如果想撕下相连的k张,一共有多少种不同的撕法?

4个0和4个8一共可以组成多少个不同的8位数?

这个题目并非难题,但比较考察孩子们的思维能力和分组能力。

注意到8位数的最高位不能为0,因此我们可以把原题转化为:

将4个0随意填入8__8__8__8__当中,空可以不填,一共可以构成多少个8位数?

下面我们将4个0分组:

1. 0000

只有4种填法。

2. 000 0
先填000,有4种填法;
再填剩余的一个0,有3种填法;
根据乘法原理,4×3=12。

这种情况也可以4个空取2个进行全排列:P(4,2)=12。

3. 00 00
注意对称性,4个空取2个:C(4,2)=6。

4. 00 0 0
先填00,有4种填法;
再填剩余的2个0,C(3,2)=3;
根据乘法原理:4×3=12

5. 0 0 0 0
显然只有1种填法。

以上分组结果相加:
4+12+6+12+1=35

这个题目用计算机编程来做则更快,思路就是从8000000到9000000遍历,验证数字恰好包含4个0和4个8即可,只需4行代码。