2024.3.24英语、数学(追及应用题)综合练习

Tom and Jerry are having a ______. Tom begins running from Point A to Point B. The distance(距离) ______ Point A and Point B is ______ meters. He runs at a speed of ______ meters per second. ______ seconds after Tom ______, Jerry begins running from Point A to Point B. Jerry runs at a speed of ______ meters per second.
(杰瑞多少时间后能追上汤姆?)
Note:1 meters per second=1 m/s

1. 根据录音填写原文中的空白处所缺的单词,如果是数字,请直接写阿拉伯数字。

2. 请根据中文意思,将最后的问题用英语完整写在下面:
_____________________________________________________________________

3. 请根据这段文字和你听到的数据,用方程计算杰瑞多少时间后能追上汤姆。(解、设、方程、答,缺一不可)

4. Tom and Jerry, who runs first and who runs faster?

5. Please calculate(计算), who will reach Point B first?

4个0和4个8一共可以组成多少个不同的8位数?

这个题目并非难题,但比较考察孩子们的思维能力和分组能力。

注意到8位数的最高位不能为0,因此我们可以把原题转化为:

将4个0随意填入8__8__8__8__当中,空可以不填,一共可以构成多少个8位数?

下面我们将4个0分组:

1. 0000

只有4种填法。

2. 000 0
先填000,有4种填法;
再填剩余的一个0,有3种填法;
根据乘法原理,4×3=12。

这种情况也可以4个空取2个进行全排列:P(4,2)=12。

3. 00 00
注意对称性,4个空取2个:C(4,2)=6。

4. 00 0 0
先填00,有4种填法;
再填剩余的2个0,C(3,2)=3;
根据乘法原理:4×3=12

5. 0 0 0 0
显然只有1种填法。

以上分组结果相加:
4+12+6+12+1=35

这个题目用计算机编程来做则更快,思路就是从8000000到9000000遍历,验证数字恰好包含4个0和4个8即可,只需4行代码。

在一个平面内,究竟是点的数量多还是直线的数量多?

前几天在和大胖聊基本概念的时候,提到了几个数学概念的判断题:

1. 自然数和小数哪个更多?

2. 1和2之间的小数多,还是2和3之间的小数多?(不包括1、2、3)

3. 正数和负数哪个更多?

上面的概念都涉及到“无限”数量的比较,一般来说有两个办法:

1. 集合论中的“整体大于部分”;

2. 一一映射,用于判断两个集合相等。

所以回过头来看第1问,每一个自然数(0、1、2、…)后面带上小数点尾巴,就能变成无数个小数,因此显然自然数的数量要比小数的数量小。

第2问,1和2之间的小数加上1之后就变到2和3之间去了,因此1和2之间的小数同2和3之间的小数存在一一映射的关系,所以数量是一样多。

第3问,正数和负数就是符号的变化,很简单的一一对应,因此正数和负数应该是一样多。

下面真正的难题来了:

在一个平面内,点的数量多还是直线的数量多?

粗略分析:每一条直线上都有无数个点,好像是直线的数量更多;但从另一个角度来看,经过每一个点都可以画无数条直线,又好像是点的数量更多。那么难道是一样多吗?思路仿佛陷入了僵局。

这个问题要让小学生来思考确实要求过高了,不过作为“头脑风暴”的题材还是不错的。

下面是胖爸的分析:

考察坐标系上的点和直线。

所有的点都可以表示成(x,y),x、y都是实数。因此两个任意实数可以构成平面上的所有的点集。

考察直线方程:y=kx+b,k和b都是实数,因此两个任意实数(k、b)可以构成平面上所有方程为y=kx+b的直线。

综合以上两点,平面上的点和方程为y=kx+b的直线的数量一样多。

不过要注意,y=kx+b并不能表示平面上与y轴平行的垂线,所以平面上的直线要比点多,多出来的那些直线就是所有和y轴平行的直线。

小学数学中的两数之间到底包不包含这两个数:任何两个小数之间都有无数个小数吗?

大胖数学练习册上出现了一个判断题:

任何两个小数之间都有无数个小数。

这类概念性的判断题,其实真正考察的并非小朋友是否把概念“背”(记)清楚了,而是考察孩子们头脑风暴举反例的能力,老师也应该尽量地去引导孩子们从简单的概念开始进行头脑风暴。

最直接的例子是:

0.1和0.1之间有无数个小数吗?

这个问题最后会归结到这个概念:两数之间包括这两个数吗?

事实上,无论是生活当中,还是数学概念上,我们说两数之间时,都是不包括这两个数的。用数学语言来说,两个数a和b之间,是一个开区间(a,b)。

按照这个概念来看,0.1和0.1之间就没有小数,因为0.1<x<0.1这个不等式是无解的(或者高中说是“空集”)。

胖爸首先头脑风暴想到的是循环小数:

(1-0.9循环)和0.0之间有多少个小数?

2024.2.7数学补充应用题练习

有一条马路需要进行维修,开工时间为2024年2月12日。如果由甲工程队单独维修,连续施工要到2024年3月15日才能完成;如果由乙工程队单独维修,连续施工要到2024年3月19日才能完成。现在由甲乙两个工程队共同维修,连续施工,那么几月几号能够完成?

从一个小学五年级“铺瓷砖”应用题说开去

一间教室的面积是87.04m2,用边长0.55m的正方形瓷砖铺地,至少需要这种瓷砖多少块?

这是典型的“铺瓷砖”应用题,标准方法是用地板的长除以瓷砖的边长,值向上取整,得到a;再用地板的宽除以瓷砖的边长,值向上取整,得到b。a×b即是要求的结果。

然而这个题只给出了地板面积,没有给地板的长和宽,因此这个题的解答过程一下子从小学应用题升级为高中函数题。

记函数ceil(x)表示对x向上取整,如ceil(2.0)=2,ceil(2.3)=3。

我们设教室的长为x,则宽为87.04/x,需要瓷砖的块数为:

y(x)=ceil(x/0.55)·ceil(87.04/x/0.55)

现在问题演变成求上述y(x)函数的最小值,约束条件就是x>0。到这里这个题目就已经不再适合小学生做了。

最后可以求出至少需要这种瓷砖288块,下面是全部情况:

长:0.55,宽:158.25454545455,瓷砖数:288
长:1.1,宽:79.127272727273,瓷砖数:288
长:1.65,宽:52.751515151515,瓷砖数:288
长:2.2,宽:39.563636363636,瓷砖数:288
长:3.3,宽:26.375757575758,瓷砖数:288
长:4.4,宽:19.781818181818,瓷砖数:288
长:4.95,宽:17.583838383838,瓷砖数:288
长:6.6,宽:13.187878787879,瓷砖数:288
长:8.8,宽:9.8909090909091,瓷砖数:288
长:9.9,宽:8.7919191919192,瓷砖数:288

长:13.2,宽:6.5939393939394,瓷砖数:288
长:17.6,宽:4.9454545454545,瓷砖数:288
长:19.8,宽:4.3959595959596,瓷砖数:288
长:26.4,宽:3.2969696969697,瓷砖数:288
长:39.6,宽:2.1979797979798,瓷砖数:288
长:52.8,宽:1.6484848484848,瓷砖数:288
长:79.2,宽:1.0989898989899,瓷砖数:288

根据日常生活经验,长13.2米,宽6.59米的教室是符合题意的。

小学数学的扩大、扩大到、扩大至和扩大了

大胖有一张课堂练习卷的第三大题(判断题)第(2)小题:

一个自然数除以0.1,相当于将这个自然数扩大10倍。

按照老师的“标准答案”,这个说法是正确的。

这个题的争议不在于自然数是否包含零,因为六年级数学教材就有明确的说明“零是自然数”。

争议也不在于是不是变大,因为0除以0.1等于0,你说“0等于0扩大10倍”在数学上毫无问题。

这里的争议在于“扩大10倍”还是“扩大到10倍”。

一般而言,数学上说把一个数a扩大10倍,那么a就变成了a+10a;如果说把a扩大到10倍,那么a就变成了10a。

因此严格地说,这个判断题应该判为错误,或者题目可以出得更为严谨一些:

一个自然数除以0.1,相当于将这个自然数扩大到10倍。

小学5年级数学语文英语综合应用练习:龟兔赛跑

【龟兔赛跑】兔子与乌龟赛进行一场2000米赛跑。兔子速度是乌龟的6倍。从起点一起出发后,兔子很快就跑到前面去了。兔子回头一看,已经没有乌龟的影子了,就干脆躺下来睡觉,醒来后发现乌龟竟然已经跑到自己前面1000米了。于是兔子一骨碌翻起身来赶紧追。眼看兔子就要追上乌龟了,这时乌龟恰好到达终点,兔子则距离终点还剩20米。

一、请小朋友分析一下,在兔子睡觉的时候,乌龟跑了多少米?(数学)

二、这个故事告诉了我们什么道理?(语文)

三、假设你是比赛中的小兔子,请用英语写一段话。这段话除了向乌龟表示祝贺之外,还要以懊悔的口吻分析自己失败的原因,别忘了最后还要和乌龟再约一场赛跑(race)。不少于100个单词。(英语)

语文和英语没什么好说的,只要小朋友平时有积累,都能很好地完成。数学相对而言比较有一些挑战,需要小朋友首先理清楚赛跑的几个过程,并把“用字母表示数”和“用方程解应用题”发挥到极致!

把一个平行四边形切割、拼接成一个长方形后,面积不变,周长怎么变?

(33)把一个平行四边形切割、拼接成一个长方形后,面积不变,周长_______。
A、变大了
B、变小了
C、不变
D、无法确定

这个题是大胖五年级数学的一个课堂练习卷,老师给答案“B、变小了”。

事实上答案B忽略了“长方形、正方形都是特殊的平行四边形”这一概念,胖爸用下面的图展示周长变大(上变下)和变小(下变上)两种情况:

这里的切割拼接之后,周长还可以不变。考虑两个全等的正方形拼成的长方形,这就是不变的情形,这个长方形的切割拼接类似一个旋转变换。

综上所述,这个题目应当选“D、无法确定”。

以上采用特殊情况(长方形)的分析方法比较适合小朋友来理解,事实上无直角内角的平行四边形一样可以可以等分后拼接,最后再把一端的三角形切割拼接一下即可。

如果采用极限的方法来分析,其实一个平行四边形可以进行无限等分,这样拼接成的长方形周长可以无限大。

反观题目中强调的“面积不变”其实没有意义,它只说明切割拼接过程中不允许丢弃而已。按照上面“极限”的思路,即使是面积变小(丢弃两端的三角形),周长也可以变大。

0.0在小学到底算不算纯小数?

在小学数学教材四年级下(上海教育出版社)第21页有一个纯小数的定义:

整数部分是零的小数叫做纯小数。

按照这个定义来看,0.0应当算纯小数。但是,这个定义其实并不准确,严格的定义应该是:

整数部分是零的小数叫做纯小数。

因为小学阶段小朋友们还没有学到正负数的概念,所以书上的定义也无可厚非。

0.0既不是正数,也不是负数,因此0.0、0.00、0.000、…这样的小数都不能算是纯小数。

纯小数中有一个非常“特殊”的数字:0.9̇。根据定义,0.9̇当然是一个纯小数,而且在大小上:

0.9̇=1
1-0.9̇=0